Aide 1° SSI La Pléïade par Badabway

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 Chapitre 3: Fonctions polynômes et second degré.

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Badabway - Administrateur
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Messages : 50
Date d'inscription : 30/08/2008

MessageSujet: Chapitre 3: Fonctions polynômes et second degré.   Dim 19 Oct - 14:32

I) Fonction polynôme.

1) Définition: On appelle fonction polynôme (à fonction réelle) de degré n (n appartenant à N) toute fonction P définie sur R par une expression qui peut se mettre sous la forme P(x)=a2.x^n+....+a2x²+a1x+a0 avec an différent de 0.

Remarque: le terme ap.x^p est le monôme de degré p.

Exemples: 1: fonction polynôme de degré0: P(x)=4; Q(x)=-7(constante).
2: fonction polynôme de degré1: P(x)= x+4; Q(x)=5x+7 (affine).
3: fonction polynôme de degré2: P(x)=5x²+3; Q(x)=x²+3x+1.
4: fonction polynôme de degré7: P(x)=-2x^7+3x²+x-4.

Contre exemples: 1: P(x)=racine de (x) +2
2: P(x)=1/(x^5) + 2x²

ATTENTION: P(x)= (x^4 -1)/(x²+1)= ((x²)²-1²)/(x²+1)= ((x²-1)(x²+1))/((x²+1)
=x²-1
P(x) est une fonction polynôme de degré2.

2) Egalité de polynômes.

Théorème (admis): 2 fonctions polynômes sont égales si et seulement si elles ont le même degré et leurs coefficients de monômes de mêmes degré.

Exercice de démonstration: Trouver a et b pour que (ax+b)(x-2)=2x²-3x-2.

On a (ax+b)(x-2)= ax²-2ax+bx-2b
=ax²+(b-2a)x-2b.

Ainsi on doit avoir: a=2, -2b=-2 donc b=1, b-2a=-3 => 1-2*2=-3 Vrai.

Donc 2x²-3x-2= (2x+1)(x-2).

3) Racines d'un polynôme:

Définition: On appelle racine d'un polynôme P tout réel xo vérifiant P(xo)=0.

Ex: 1: P(x) =x-1 Racines: {1} x-1=0 x=1
2: P(x) = 4 Racines: Aucune.
3: P(x) = x²-2x+1 Racines: {1}.
(x-1)²=0
(x-1)=0
x=1

4: P(x)= (x-3)(x+1) x-3=0 ou x+1=0 Racines: {-1;3}
5: P(x)= x²-2x-3=0 (x-3)(x+1)=0 x=3 ou x=-1= Racines: {-1;3}.

Théorème: Si une fonction polynôme P de degré n admet une racine k, alors on peut écrire: P(x) =(x-k)+Q(x) où Q est un polynôme de degré n. n-1=1, puisque n=2.

("On peut factoriser P par (x-k)").

Exemples: 1: f(x)= x^3+x²-4x-4 On a f(-1)=0 et f(x) = (x-(-1))(x²-4).
2: P(x)=x²-3 a pour racines -racine de 3 et racine de 3, Donc P(x) = (x-rac3)(x+rac3).
3: P(x) = 3x²+7x+2
a) montrer que -2 est racine.
b) en déduire une factorisation de P puis trouver les autrs racines de P.
a: 3(-2)²+7(-2)+2=3*4+(-14)+2=12-14+2=14-14=0 donc -2 est racine.
b: d'après le thm, P(x)=(x-2)(ax+b)
ax²+b+2ax+2b=ax²+(2a-b)x+2b.

a=3, 2a+b=7, 2b=2
a=3 b=1 .

II) fonctions polynômes de second degré.

1) Définition/motivation:
Définition: Il s'agit des fonctions définies sur R par une expression du type f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c appartenant à R et a différent de 0.

Motivations: -Problème historique p31=> x²+10=39 x=? (S={-13;3}).
-Etude des mouvements uniformément accélérés (p31).

2) Forme canonique:

a) Définition: Soit f une fonction polynôme de degré 2 : f(x)= ax²+bx+c alors f(x) peut se mettre sous la forme: f(x)= a(x-alpha²)+ß (alpha et ß différents de 0) appellée forme canonique de f.

De façon générale:
f(x)=ax²+bx+c (a différent de 0)
=a(x²+(b/a)x+(c/a))
=a(x+(b/2a)²-(b²/4a²)+(c/a)) car (x+(b/2a)=x²+(b/a)+(b²/4a²)
=a((x+(b/2a))²-((b²-4ac)/4a²))
=a(x+(b/2a))²-(b²-4ac)/4a.

Définition: Soit f une fonction polynôme de degré 2 (f(x)=ax²+bx+c) On appelle discriminant le nombre Delta=b²-4ac.

Théorème: Toute fonction polynôme de degré 2 peut se mettre sous forme canonique f(x) = a(x+alpha)²+ß avec alpha=b/2a et ß=Delta/4a.

Exemple: f(x)=3x²+10x-4
Delta= 10²-4x+3(-4)=148 alpha= (10/6)=(5/3) ß=(-148/12)=(-37/3) .

b) Courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2:
Conséquence du Théorème précédent:
Théorème: Dans un repère, ma courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole de sommet S (-alpha; ß) qui s'obtient par la translation à partir de la fonction x-->ax² de vecteur u(-alpha;ß) [avec alpha= b/4a; ß=-delta/4a]

3) Résoudre une équation de second degré:

Théorème: Soit f une fonction polynôme de degré 2 (f(x)=ax²+bx+c)
*Si Delta <0, f n'a pas de racines (f(x)=0 n'a pas de solution).
*Si Delta=0, f a une unique racine x=-b/2a.
* Si Delta>0, f admet 2 racines distinctes: x1=(-b+racine de delta)/2a ou x2=(-b-racine de delta)/2a.

Remarques: *Si delta<0, pas de factorisation.
*Si delta=0, f(x) = a(x+(b/2a))
*Si delta>0, f(x) = a(x-x1)(x-x2).

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