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 chapitre 1 : généralités sur les fonctions.

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Badabway - Administrateur
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Messages : 50
Date d'inscription : 30/08/2008

MessageSujet: chapitre 1 : généralités sur les fonctions.   Mer 3 Sep - 15:20

1°/ Rappels:

A) notion de domaine de définition:

définition : soit F. une fonction, le domaine de définition de F, noté Df est l'ensemble des réelles qui ont une image par F.

Exemples :

Le domaine de définition de la fonction carrée est l'ensemble des réels.
Le domaine de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réelle sauf 0.
f(x)= 4/(x 1) Df = R\{-1} soit l'ensemble des réels sauf -1.
f(x)= rac(4 x) Df = [ -4 ; inf [ soit l'ensemble des réelles au-dessus ou égaux à -4.

on doit avoir : ( 4 x ) supérieur ou égal à 0.
x supérieur ou égal à -4.

b) le sens de variations :

si F est croissante, lorsque x augmente, les images F(x) augmentent aussi.
Si a

Si F est décroissante, lorsque x augmente f(x) diminue.
si af(b).

c) les fonctions usuelles :



désolé pour la qualité, je ferais mieux la prochaine fois.

variations de la fonction racine carrée: démonstration.

Soit 0[b]0.
rac(b) - rac(a) = ((rac(b)- rac(a) X (rac(b) rac(a)) / (rac(b) rac (a))
= (b-a) / (rac(b) - rac(a)) >0



2°/ opérations de base sur les fonctions :

a) somme :
définition : soit u & v deux fonctions définies sur Du & Dv.
La fonction u v est défini sur Du (inter) Dv.

Par (u v) (x) =U(x) V(x).



cas particulier: (U k)(x)=U(x) k (V(x)=k =>constante)
alors (U k) a les mêmes variations que U.


b) produit :

définition : soit u et v deux fonctions définies sur Du et Dv alors on définit (U*V)(x) = U(x)*V(x) définies sur Du*v = Du (inter) Dv.

exemples :
1- U(x)=1/x sur ]0;4]
V(x)=x² sur [-3;3]

(U*V)= (1/x)*x² = x²/x = x.
Du*v= ]0;3]

2- U(x) = x sur [0;2]
V(x) = x² - 4x sur [0;2]

(U*V)(x) = x² - 4x sur [0;2]


Remarque : on ne peut rien conclure sur le sens de variations d'une fonction produit U*V, connaissant ceux de U&V. Une étude doit être menée au cas par cas.

Cas particulier : cas où V(x)=k constante (k*U)(x)=k*u(x).

Propriété : soit U une fonction et k un réel :
(1) Si k>0 U et k*U ont le même sens de variations.
(2) Si k<0 U et k*U l'indécence de variation contraire.

Démonstration de (2):

opération effectuée:
U croissante:
U décroissante:

fonction U
multiplication par k

Conclusion:
a < b
U(a) < U(b)
k*U(a)>k*U(b)

k*U décroissante
a < b
U(a) > U(b)
k*U(a) < k*U(b)

k*U croissante
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